ATTIVITA' DI RICERCA


Questa pagina contiene un breve riassunto delle ricerche che ho svolto, sto svolgendo e delle ricerche che mi piacerebbe affrontare. Il settore nel quale svolgo questa attività è quello della GEOMETRIA ALGEBRICA (classificazione AMS 14xxx) e, più in particolare, lo studio delle varietà proiettive in caratteristica 0.
Per quanto riguarda i progetti di ricerca conclusi, si fa riferimento alla lista di pubblicazioni.

Forma canonica di polinomi
Applicazioni dello studio delle varietà k-secanti agli spazi di polinomi, con l'intento di chiarire come i polinomi omogenei possano essere descritti in termini di polinomi elementari (potenze di forme lineari, ecc.).

DecomponibilitÓ di tensori
Applicazioni dello studio delle varietà k-secanti agli spazi di tensori di rango fissato e alla loro struttura.

Immersioni proiettivamente degeneri
Studio delle varietà aventi immersioni in spazi proietti, la cui varietà dei piani secanti, o più in generale k-secanti, è degenere.

Fibrati su varietà
Si tratta di studiare le proprietà coomologiche dei fibrati e i loro spazi di Moduli, su superficie e su 3folds di tipo notevole (abeliane, Calabi-Yau, etc.).

Struttura delle varietà e immersioni proiettive
Si tratta di determinare come proprietà intrinseche di varietà (quali ad esempio gonalità di curve o esistenze di serie speciali molto ampie) influiscono sulla postulazione e sulla coomologia dell'immersione di tali varietà in Pr.

Curve singolari su superficie
Si tratta di determinare la struttura delle varietà che parametrizzano curve singolari su superfici. Tali varietà, rilevanti in geometria algebrica per problemi di classificazione, sono collegate a questioni di teoria dei numeri (varietà iperboliche) e di fisica teorica (quantum cohomology).
 
 
 
 

Forma canonica di polinomi

Il problema consiste nel cercare metodi per decomporre un numero intero o un polinomio omogeneo, in modo canonico, come somma di elementi pi¨ semplici. Questa decomposizione prende classicamente il nome di forma canonica.

Nel caso dei polinomi omogenei di grado fissato, che formano uno spazio proiettivo, gli oggetti elementari sono di solito confinati in una sottovarietà (non lineare) dello spazio. Il problema di scrivere un polinomio come somma di oggetti elementari viene quindi ridotto, geometricamente, allo studio delle varietà secanti a sottovarietà fondamentali (ad esempio, varietà di Veronese).

Solitamente, la possibilità di scrivere un polinomio generico in una data forma è legata alla presenza, su ipersuperficie generica, di sottovarietà o gruppi di punti dalle proprietà fissate. In tal senso, questa ricerca si connette fortemente con le altre ricerche svolte.

Risultati conseguiti:

(1) Studio dei gruppi di punti intersezione completa che si possono trovare su ipersuperfici generiche (joint with E.Carlini e A.V.Geramita - pubbl.n.50 e pubbl.n.56).

(2) Studio della possibilitÓ di scrivere un polinomio generico come determinante di una matrice di forme (joint with J.Migliore - pubbl.n.62) o come somma di determinanti (joint with A.V.Geramita - pubbl.n.69).
 
 
 
 

Decomponibilità di tensori

Lo studio dei tensori ha interessanti connessioni con le applicazioni in Statistica Algebrica e con lo studio dei Mixture Models. Dal punto di vista della Geometria Algebrica, consiste principalmente nell'applicazione dello studio delle varietà secanti a varietà di Segre, Veronese, Grassmanniane e similari.

In particolare, attraverso i lavori di Terracini, si è sviluppato uno studio deifferenziale delle varietà secanti a spazi di tensori che fa riferimento alle sottovarietà degeneri di tali spazi. Problemi come lo studio di spazi di tensori con rango fissato o identificabilità di tensori, possono essere affrontati con i metodi dello studio di varietà secanti, introdotti nelle ricerche precedenti.

In particolare, si usano tali metodi geometrici per ottenere criteri di identificabilità e di identificabilità gnerica della decomposizione di tensori, migliorando i risultati già stabiliti con metodi di pura Algebra Lineare.

(1) nel caso di tensori simmetrici, i metodi e i risultati permettono criteri effettivi per un dato tensore (joint with E.Ballico - pubbl.n.61 e pubbl.n.66).

(2) Nel caso di tensori non simmetrici, si estende il numero di casi in cui si conosce l'identificabilità, al di fuori di un sottoinsieme di misura nulla (joint with C.Bocci - pubbl.n.64, joint with G.Ottaviani - pubbl.n.63 e joint with C.Bocci e G.Ottaviani - pubbl.n.68). Risultati particolarmente precisi si ottengono ne caso di tensori binari.

(3) Per i sistemi lineari di tensori, si ottengono risultati di identificabilità generica, usando la Grassmann-difettività debole (joint with E.Ballico, A.Bernardi e M.V.Catalisano - pubbl.n.65).

(4) Esempi di spazi di tensori che non sono genericamente identificabili si ottengono mediante lo studio di sottovarietà degeneri (joint with M.Mella e G.Ottaviani - pubbl.n.70).
 
 
 
 

Immersioni proiettivamente degeneri

La teoria delle varietà immerse proiettivamente con spazi secanti che formano famiglie degeneri è un argomento ampiamente trattato nella Geometria Algebrica classica. Lavori su tali varietà (dette varietà difettive)  si sviluppano con Severi (classificazioni di superfici con famiglia delle secanti degenere) e in seguito con risultati di Palatini, Terracini, Scorza, Morin ecc. I matematici classici si avvicinavano a questa teoria partendo dal problema di classificare soluzioni algebriche di equazioni differenziali. Molto più recentemente, la teoria ha avuto sviluppo in relazione con lo studio di varietà lisce di codimensione piccola. Tali varietà si ottengono, ad esempio, proiettando da spazi di dimensione elevata delle varietà la cui famiglia di rette secanti è degenere. Si vedano al proposito i lavori di Zak sulla congettura di Hartshorne.

Un altro argomento che porta in modo naturale a considerare varietà proiettivamente degeneri è quello dei problemi di interpolazione algebrica: dato un insieme di punti di uno spazio proiettivo, considerati con certe molteplicità, studiare la famiglia di ipersuperfici che vi passano con le molteplicità assegnate. Tale problema è stato ampiamente studiato nella geometria classica, ed anche recentemente è stato oggetto di indagine da parte di numerosi studiodi. Quando le molteplicità assegnate sono tutte uguali a 2, il problema di interpolazione può essere ricondotto a studiare le famiglie di iperpiani pluritangenti in una immersione di Veronese dello spazio proiettivo. Lo studio degli spazi proiettivi aventi immersioni di Veronese proiettivamente degeneri è classico. L'estensione di tale studio a immersioni di Veronese di varietà qualsiasi è pure trattato dai geometri italiani di inizio secolo, ma solo i casi iniziali sono stati compresi.

Nella nostra ricerca, studiamo in particolare la classificazione di superfici e threefolds con famiglie di spazi pluritangenti degeneri.

Risultati conseguiti:

(1) Classificazione di superfici debolmente difettive, classe più ampia delle superfici difettose, caratterizzate dallla proprietà che ogni  iperpiano k-tangente è in realta tangente lungo una varietà di dimensione positiva. (joint with C.Ciliberto - pubbl.n.36).

(2) Classificazione di varietà con varietà tangente grassmanniana difettosa; tali oggetti hanno la proprietà che per una generica retta di uno spazio k-tangenti passano infiniti spazi k-tangenti. Per le superfici, in molti casi interessanti, tale difetto si ripercuote nell'assenza di punti k-upli quando si opera una doppia proiezione generica. (joint with M.Coppens - pubbl.n.32 e joint with C.Ciliberto - pubbl.n.43). Lo studio si estende al caso delle 3folds (joint with F.Cools - pubbl.n.60).

(3) Studio delle superfici che soddisfano equazioni differenziali per i punti tripli, cioè tali che l'imposizione di un punto triplo nell'intersezione con un iperpiano determina meno condizioni di quanto atteso (joint with T.Markwig - pubbl.n.51 e pubbl.n.58).

(4) Classificazione delle varietà difettive di dimensione 3 (joint with C.Ciliberto - pubbl.n.44).

(5) Studio delle varietà semi-difettive, cioè tali che l'intersezione di spazi secanti avviene in dimensione superiori all'attesa. Tali varietà soddisfano particolari equazioni differenziali e formano una gerarchia. In particolare si studia il caso dei punti tripli, classificando il caso di superfici (joint with C.Bocci - pubbl.n.47).

(6) Studio della dimensione minima che una varietà secante pu˛ avere, collegato con lo studio delle proiezioni di varietà proiettive (joint with C.Ciliberto - pubbl.n.57).

(7) Studio delle varietà di grado secante maggiore di 1, cioè tali che per un punto generico di una varietà secante passano molti spazi secanti. Si prova in particolare che tali varietà sono strettamente legate alle varietà debolmente difettive, fornendo così un criterio geometrico per lo studio dell'identificabilità (joint with C.Ciliberto - pubbl.n.49).
 
 
 
 

Curve singolari su superficie

La classificazione delle varietà algebriche è svolta in base alle invarianti che riusciamo a riconoscere su questi oggetti. Un metodo di rilevamento di invarianti consiste nell'osservazione delle sottovarietà che una varietà data contiene. è per questa via che si arriva alla definizione classica del gruppo di Picard dei divisori, collegato anche alla struttura analitica della varietà, cioè alle funzioni meromorfe su essa definite. Nel caso di una superficie S, il gruppo di Picard contiene informazioni sulle curve tracciate su S. Per poter controllare le invarianti, è essenziale conoscere il loro comportamento all'interno di una famiglia di varietà; nel caso, ad esempio, di superficie di grado fissato in P3, si conosce il gruppo di Picard di una generica superficie e si arriva alla definizione dei luoghi di Noether-Lefschetz, che consentono una classificazione più fine delle superficie particolari. I luoghi di Noether-Lefschetz sono comunque oggetti con una struttura propria piuttosto complessa ed ancora non completamente nota.

Recenti studi hanno portato ad un ulteriore raffinamento di questa classificazione: si tratta di determinare le curve singolari all'interno di una classe del gruppo di Picard. Il motivo scatenante di questa ricerca proviene sia da stimoli di Geometria Algebrica, sia da alcune ricerche di Fisica Teorica. Le varietà che parametrizzano le curve singolari all'interno di un fissato sistema lineare di curve piane, note come varietà di Severi, sono state descritte in modo abbastanza completo solo recentemente, da Z.Ran, J.Harris e L.Caporaso. Contemporaneamente, la teoria delle stringhe della fisica spingeva verso la determinazione delle curve razionali presenti su particolari varietà, con la successiva nozione di quantum cohomology (si vedano i lavori di E.Witten, Y.Manin, Konsevitch etc.).

In questo ambito, H.Clemens, L.Ein e G.Xu hanno recentemente provato che varietà generali di famiglie notevoli non possono contenere curve di genere basso. Questi ultimi risultati sono collegati anche allo studio della iperbolicità delle varietà algebriche. In geometria differenziale, una varietà X è iperbolica quando non esistono mappe olomorfe non costanti da C a X; la nozione è rilevante per le applicazioni a estensioni del problema di Mordell sui punti razionali delle varietà di dimensione >1. Lavori di Kobayashi, Lang, Demailly suggeriscono che l'iperbolicità sia equivalente ad avere una limitazione inferiore del genere, dipendente dal grado, per le curve su X. I lavori di Clemens e Xu provano proprio che l'elemento generico di famiglie notevoli di superficie ha quest'ultima proprietà.

La ricerca in oggetto si innesta in questi filoni. Gli studi precedenti suggeriscono che la natura delle varietà di Severi sia di tipo analitico, più che algebrico in senso stretto; si cerca quindi di utilizzare strumenti di geometria algebrica differrenziale (teoria dei fuochi, metodi induttivi di degenerazione) per studiarle. In particolare, l'attenzione viene rivolta alle varietà di Severi su superficie del P3, che rappresentano un primo passo ragionevole. A tale proposito è da notare che non è nota la struttura delle varietà di Severi su una superficie del P3 generica.

Risultati conseguiti

(1) determinazione di un limite inferiore per il genere di curve presenti su superficie con gruppo di Picard di rango 2 e in generale determinazioni di limiti per il genere geometrico di varieta che invadono ipersuperfici (joint with A.Lopez - pubbl.n.29 e joint with A.Lopez e Z.Ran pubbl.n.31).

(2) determinazione di una componente buona, cioè di codimensione giusta e genericamente liscia, nelle varietà di Severi di superficie generiche (joint with C.Ciliberto - pubbl.n.26).

(3) determinazione del limite sharp per il genere, sopra al quale il luogo nodale delle varietà di Severi è liscio (joint with E.Sernesi - pubbl.n.23).

(4) determinazione di gruppi Z di punti del piano la cui imposizione come punti doppi impone alle curve poche condizioni in più di Z stesso. Il problema è collegato allo studio delle potenze simboliche di un ideale. (joint with C.Bocci - pubbl.n.59).
 
 
 
 

Fibrati su varietà

La classificazione delle varietà algebriche è svolta in base alle invarianti che riusciamo a riconoscere su questi oggetti. Un metodo di rilevamento di invarianti consiste nell'osservazione delle sottovarietà che una varietà data contiene. è per questa via che si arriva alla definizione classica del gruppo di Picard dei divisori, collegato anche alla struttura analitica della varietà, cioè alle funzioni meromorfe su essa definite.

Il gruppo di Picard classifica sottovarietà di codimensione 1. Il passo successivo consiste nella classificazione di sottovarietà di codimensione più elevata. Già in codimensione 2, sorgono notevoli problemi: mentre i divisori di una varietà si organizzano in modo naturale in sistemi lineari, un'analoga costruzione per le varietà di codimensione maggiore porta alla definizione dell'anello di Chow la cui struttura, anche nel caso dei punti su superfici, non è compresa a fondo.

Un'alternativa consiste nel considerare le sottovarietà di codimensione >1 come luogo degli zeri di sezioni di fibrati. Quando ciò è possibile, si ottengono elementi di uno spazio vettoriale (delle sezioni del fibrato) che in qualche modo sostituisce il concetto di sistema lineare che abbiamo per i divisori. Lo studio dei fibrati su varietà e dei loro spazi di Moduli, permette quindi di progredire nel problema della descrizione delle varietà algebriche. è da notare che, in vari casi, le soluzioni delle equazioni di campo che descrivono interazioni fra particelle in fisica atomica, sono descritte da curve algebriche associate a certi tipi di fibrati (è il caso, ad esempio, degli istantoni).

In questo settore, se molto si conosce sui fibrati di rango 2 su superfici e su P3, non sono invece ancora ben note le relazioni fra fibrati e l'anello di Chow e la struttura degli spazi di Moduli di fibrati su 3folds generiche. Su tali argomenti, specialmente sull'ultimo, si incentrano le ricerche attuali.
Unificando i due precedenti argomenti, si studiano anche le varietà che parametrizzano le sezioni di un fibrato di rango 2 in P3, corrispondenti a curve singolari.

Risultati conseguiti.

(1) Studio dei fibrati senza coomologia intermedia (fibrati ACM) su ipersuperfici. Estensione del criterio di decomponibilitÓ di Horrocks su sestiche del P4 (joint with C. Madonna - pubbl.n. 42) e ipersuperfici di grado basso in P5 (joint with C. Madonna - pubbl.n. 45).

(2) Studio delle classi di Chern dei fibrati ACM su superfici del P3, legato alla presenza di gruppi di punti aritmeticamente di Gorenstein su tali superfici (joint with D. Faenzi - pubbl.n.54 e pubbl.n.55 ).

(3) Determinazione di certi spazi di Moduli di fibrati su superficie K3, che sono birazionali a prodotti simmetrici della superficie (joint with E.Ballico - pubbl.n.16 ).

(4) Inizio della teoria delle varietà di Severi per fibrati di rango 2 in P3 (joint with E.Ballico - pubbl.n.25 ).

(5) Descrizione delle possibili sequenze per la coomologia intermedia di un fibrato di rango 2 in P2 (joint with C.Bocci - pubbl.n.53 ).
 
 
 
 

Struttura delle varietà e immersioni proiettive

Nello studio delle varietà algebriche si prendono in esame caratteristiche 'intrinsechè, cioè valide a meno di isomorfismo (quali, ad esempio, il genere geometrico) e caratteristiche 'estrinsechè, cioè proprie di una particolare immersione in spazi proiettivi (ad esempio, il grado). Questi due aspetti delle varietà non sono completamente scollegati, ma come già classicamente notato, la geometria intrinseca condiziona e si riflette sulle proprietà delle immersioni. è in questo contesto, che nasce ad esempio il bound di Castelnuovo, legame fra genere e grado di una curva proiettiva.

In Geometria proiettiva, risulta rilevante la ricerca di legami fra proprietà intrinseche ed estrinseche di varietà. Per una curva C in P3, formule che legano il genere ai gradi di superficie passanti per C furono determinate nel secolo scorso da Halphen, ma solo recentemente provate in modo completo da L.Gruson e C.Peskine (si vedano anche i lavori di J.Harris, R.Hartshorne e A.Hirschowitz). Tali formule sono state generalizzate in vari modi a curve di Pr, ma una generalizzazione completa è ancora ignota.

La ricerca in oggetto prende di mira vari aspetti di questo problema. Innanzitutto, la determinazione di una estensione totale delle formule di Halphen resta ancora aperta; inoltre si può osservare che proprietà intrinseche più fini, quali la gonalità, riescono comunque a condizionare la postulazione di una immersione, in un modo che è stato solo inizialmente descritto; anche la coomologia delle serie lineari su curva deve essere considerata alla luce di queste osservazioni. Rimangono da affrontare l'estensione di risultati di questo tipo a superfici e varietà di dimensione maggiore e una versione relativa di queste considerazioni, che troverebbe sede naturale nella teoria di Brill-Noether.

Risultati conseguiti.

(1) Studio di relazioni fra grado, genere, postulazione e gonalità di una curva del P3 (joint with C.Ciliberto - pubbl.n.24 ).

(2) Studio di relazioni fra grado, genere e bandiere di sottovarietà contenenti una curva del Pr. I risultati raggiunti sono particolarmente significativi in P4. (joint with C.Ciliberto e V. di Gennaro - pubbl.n.20 e pubbl.n.22 ).

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